יחידה 11: זוגות של זוויות שיעור 1. זוויות צמודות נתבונן בתמרורים ובזוויות המופיעות בהם. V IV III II I הדסה מיינה את התמרורים כך: בקבוצה אחת שלושת התמרורים שמימין, ובקבוצה השנייה שני התמרורים שמשמאל. ש ערו: מה היו שיקולי המיון של הדר? נלמד על זוויות צמודות. 1. לפניכם סקיצות של התמרורים ממשימת הפתיחה. V IV III II I הזווית המסומנת בקשת בתמרור האמצעי מורכבת משתי זוויות שביחד יוצרות זווית שטוחה. מ צאו בכל סקיצה, זוג אחד של זוויות כאלה. צ יירו שתי זוויות )שאינן ישרות( שביחד יוצרות זווית שטוחה. הגדרה: קרן היוצאת מנקודה על ישר, יוצרת שתי זוויות הנקראות זוויות צמודות. זוויות צמודות יוצרות ביחד זווית שטוחה. דוגמאות: בשרטוט זוויות 2, 1 הן זוויות צמודות 2 1 4 3 בשרטוט זוויות 4, 3 אינן זוויות צמודות 2. באילו מהסקיצות של התמרורים יש יותר מזוג אחד של זוויות צמודות? B A E C D תּ ארו בעזרת המושג "זוויות צמודות" את המיון של הדסה. 3. ז הו בשרטוט שתי זוויות צמודות. ב. יעל ושירה מצאו, כל אחת, זוג אחר של זוויות צמודות. הייתכן? ה סבירו. 180
סימון זוויות עד כה סימנו זוויות בעזרת מספרים, בעזרת האות של קודקוד הזווית, או בעזרת שלוש אותיות. מסמנים זוויות גם בעזרת אותיות יווניות, כמו למשל : ( א לפא) (, בּ יתא) ( c, ג מא) ( d, ד לתא)..4 בכל סעיף זוויות צמודות. ח שבו את גודלה של. א. 100 ב. 35 ג. 45 80 חושבים על....5 א. האם ייתכן זוג זוויות צמודות ששתיהן חדות? ה סבירו. ב. האם יייתכן זוג זוויות צמודות ששתיהן קהות? ה סבירו. ג. האם ייתכן זוג זוויות צמודות ששתיהן שוות? ה סבירו. ד. האם ייתכן זוג זוויות צמודות שסכומן אינו?180 ה סבירו. שתי זוויות צמודות יוצרות ביחד זווית שטוחה, לכן סכומן.180 דוגמה : בשרטוט, ו - הן זוויות צמודות, לכן מתקיים. + = 180 : המוח האנושי עוסק בחישוב זוויות באופן קבוע במהלך כל הפעולות המוטוריות שאדם מבצע במהלך היום. בזמן הליכה למשל, כדי לשמור על יציבות ולשלוט על כמות האנרגיה המנוצלת, המוח חייב לבקר בכל צעד וצעד את זווית הירך, את זווית השוק ואת זווית הרגל ( c ראו שרטוט). אם מסתכלים על כל אחת מהזוויות האלו בנפרד לאורך זמן הביצוע של צעד אחד, אפשר לראות למשל שיש דמיון רב בין זווית השוק לזווית הרגל, וההבדל העיקרי ביניהן הוא שהן מעט מוזזות האחת ביחס לשנייה בזמן. יחידה - 11 זוגות של זוויות אגן ברך קרסול 181
6. הזוויות ו- שבשרטוט הן זוויות צמודות. מ צאו בשרטוט זוג נוסף של זוויות צמודות. מה סכומן? סכום הזוויות ו- גם הוא 180. האם הן צמודות? ה סבירו. אוסף משימות 1. בכל שרטוט מסומנות זוויות ו-. בכל סעיף ק בעו אם הזוויות צמודות. ה. ו. 2. בכל סעיף זוויות צמודות. ח שבו את גודלה של. 120 135 40 3. בכל סעיף, ח שבו את גודלן של ושל ור שמו נימוק מתאים. 117 155 35 40 40 182
.4 נתון: x( g = = 2x = x במעלות( מ צאו את גודלן של הזוויות g,, ו- d.5 נתון: = ה סבירו מדוע. = 6. האם קרש הגיהוץ יהיה גבוה יותר או נמוך יותר, אם נקטין את 1, הזווית המסומנת בין רגלי הקרש בשרטוט? ה סבירו. 1 ב. אהרון ונתן התבוננו במשטח ההגבהה שבתמונה. אהרון אמר: אם נגדיל את הזווית שבין שני מוטות, נוכל להגיע גבוה יותר. נתן אמר: אם נקטין את הזווית שבין שני מוטות, נוכל להגיע גבוה יותר. שניהם צדקו. הייתכן? + = 180 הן שתי זוויות המקיימות: ו-.7 האם הן בהכרח צמודות? אם כן, ה סבירו. אם לא, צ יירו דוגמה נגדית. 183
שיעור 2. זוויות קודקודיות לפניכם סקיצות של התמרורים משיעור 1. V IV III II I באילו סקיצות יש זוויות שיש להן קודקוד משותף, אך אינן צמודות? נלמד על זוויות קודקודיות. 1 הגדרה: זוויות הנוצרות ביו שני ישרים נחתכים, ואינן זוויות צמודות, נקראות זוויות קודקודיות. דוגמה: בשרטוט זוויות כמו 1 ו- 2 הן זוויות קודקודיות. 2 בשרטוט זוויות 3 ו- 4 אינן קודקודיות. 3 4.1 א. 80º = ח שבו את גודלן של הזוויות האחרות בשרטוט. מ צאו בשרטוט זוגות של זוויות שוות. האם הן קודקודיות או צמודות? ב. 110º = ח שבו את גודלן של ושל. ה סבירו מדוע הן שוות. חושבים על... 2. מ צאו בשרטוט זוג זוויות קודקודיות. מהו הסכום של ושל? מדוע? ג. אבי אמר: = 180 וגם = 180 לכן = האם אבי צודק? ה סבירו. 184
מסקנה: זוויות קודקודיות שוות זו לזו. דוגמה: בשרטוט ו- זוויות קודקודיות, לכן = חנה אמרה: בשרטוט ו- הן זוויות קודקודיות, כי יש להן קודקוד משותף..3 בתיה אמרה: בשרטוט ו- הן זוויות קודקודיות, כי הן שוות זו לזו. גילה אמרה: בשרטוט ו- הן זוויות קודקודיות, כי הן שוות ויש להן קודקוד משותף. דינה אמרה: בשרטוט ו- הן זוויות קודקודיות. מי צודקת? ה סבירו. אוסף משימות 1. בכל שרטוט מסומנות זוויות ו-. ק בעו אם הזוויות צמודות, קודקודיות, או אינן צמודות ואינן קודקודיות. ה. ו. 185
2. בכל סעיף, ח שבו את גודל הזוויות, ו- c. 108 54 75 3. בכל סעיף, ח שבו את גודל הזווית. ה ראו את דרך החישו 60º 90º 90 120 90 130 50 4. בכל סעיף, שני ישרים נחתכים. ק בעו אם הנתונים אפשריים. ה סבירו. 50 130 120 40 135 45 45 135 80 110 110 80 5. בכל סעיף, ק בעו אם הנתונים אפשריים. ה סבירו. 133 110 97 120 90 40 110 70 130 60 120 186
6. ח שבו את גודל הזוויות ו-. ר שמו נימוק מתאים. 90 40 K B 7. ר שמו שני זוגות של זוויות קודקודיות בשרטוט. E A D C ר שמו שני זוגות של זוויות צמודות בשרטוט. מ צאו זווית המשלימה את EAD ל- 90º. נתון: DAC = 51º ח שבו את גודלן של הזוויות:.EAK,KAB,EAD,BAD 8. בכל סעיף, ק בעו אם הטענה נכונה. אם כן, ה סבירו. אם לא, תנו דוגמה נגדית. אם ו- זוויות קודקודיות ו- זווית חדה, אז זווית קהה. אם ו- זוויות קודקודיות, אז > 90. + אם ו- זוויות צמודות ו- זווית חדה, אז זווית קהה. אם זווית חדה ו- זווית קהה, אז סכומן 180º. 9. הייתכן? אם כן, ק בעו את גודל הזוויות. אם לא, ה סבירו. א. ו- זוויות קודקודיות, = 180. + ב. ו- זוויות קודקודיות, = 20. ו- זוויות קודקודיות, = 90. + ד. ו- זוויות צמודות, = 90. ה. ו- זוויות צמודות, =. 2 ו. ו- זוויות קודקודיות,. = 2 187
שיעור 3. זוויות בין ישרים מקבילים בשרטוט זוג ישרים מקבילים וישר שלישי החותך אותם. האם הזווית ו- g שוות? האם הזווית ו- g שוות? נלמד על תכונות של זוויות הנוצרות בין ישרים מקבילים וישר חותך. 1. מ צאו בשרטוט במשימת הפתיחה זוג זוויות שוות. ה סבירו. מ צאו בשרטוט במשימת הפתיחה זוג זוויות שסכומן 180. ה סבירו. זוויות מתאימות הגדרה נתונים שני ישרים, וישר שלישי החותך אותם. שתי זוויות הנמצאות מאותו צד של הישרים ומאותו צד של הישר החותך, נקראות זוויות מתאימות. דוגמה: בשרטוט ו- הן זוויות מתאימות. 1 2 3 4 2. ר שמו זוגות של זוויות מתאימות בשרטוט. 5 6 8 7 3. ז הו באילו מהשרטוטים הבאים זוויות ו- מתאימות. ה. ו. 188
תזכורת ישרים שאינם חותכים זה את זה נקראים ישרים מקבילים. מסמנים ישרים מקבילים בעזרת הסימן אפשר להוסיף סימן חיצים על הישרים כדי לזהות את הישרים המקבילים. דוגמה: בשרטוט ו- ישרים מקבילים, מסמנים. זוויות מתאימות בין מקבילים 4. בכל סעיף זוג ישרים מקבילים וישר חותך. היעזרו במד-זווית וק בעו אם. = לפניכם שני תעתועי ראייה (Opticl illusions) התעתוע הראשון נוצר על-ידי הזזת השורות של רשת משבצות ריבועיות. כתוצאה מהזזה זאת, הישרים נראים לא מקבילים. גם בתעתוע השני הקווים מקבילים למרות שהם אינם נראים כך. בשני המקרים, תוכלו להעתיק את הישרים לדף שקוף, ולהיווכח שבמציאות, הישרים מקבילים. 189
חושבים על....5 בשרטוט נתון: = 40, II האם זווית יכולה להיות בת 30? ה סבירו. האם זווית יכולה להיות בת 50? ה סבירו ג. איילה אמרה: אם הישרים מקבילים, אז זווית חייבת להיות בת 40. האם איילה צודקת? ה סבירו. ראינו מתוך התנסות את העובדה: נתונים שני ישרים וישר שלישי החותך אותם, אם הישרים מקבילים אז הזוויות המתאימות שוות. דוגמה: בשרטוט, הישרים ו- מקבילים זה לזה, ולכן ו- שוות. כלומר, אם II א ז = 1 2 3 4 5 6 7 8.6 בשרטוט נתון: 2 = 140, II ח שבו את גודל כל הזוויות בשרטוט. חושבים על....7 בשרטוט נתון: = 80, II האם ו- שוות? ה סבירו. 75.8 בשרטוט נתון: II 85 א. עדינה אמרה: 75 = האם עדינה צודקת? אם כן, ה סבירו. אם לא, מ צאו את גודל הזוויות. מ צאו את גודל הזווית. 190
9. ח זרו למשימת הפתיחה, וב דקו אילו זוויות שוות. מרחק נקודה מישר A B C בעקבות... 10. נתונים ישר ונקודה A מחוץ לישר. דרך נקודה A משרטטים שני ישרים החותכים את ישר בנקודות B ו- C.. מאונך לישר AB האם ייתכן כי גם AC מאונך לישר? ה סבירו. A B ראינו כי דרך נקודה מחוץ לישר אפשר לשרטט אנך אחד ויחיד לישר. אנך זה הוא המרחק של הנקודה מהישר. דוגמה: בשרטוט, אורך הקטע AB הוא המרחק של הנקודה A מן הישר. אוסף משימות 1. ה עתיקו את השרטוטים. בכל שרטוט, ס מנו זווית המתאימה לזווית. 191
2. בכל סעיף, שני ישרים מקבילים )מסומנים בחיצים( וישר חותך. ח שבו את גודל זווית. 80 110 80 55 3. בכל סעיף, שני ישרים מקבילים )מסומנים בחיצים( וישר חותך. ח שבו את גודל זווית. 65 60 55 77 4. בכל סעיף, ישרים מקבילים )מסומנים בחיצים(. ח שבו את גודל זוויות ו-. ה סבירו. 60 80 111 5. בכל סעיף, ישרים מקבילים )מסומנים בחיצים(. ק בעו אם הנתונים נכונים, וה סבירו. 80 100 70 82 100 100 70 84 192
6. נתונים ישרים מקבילים )מסומנים בחיצים( וישר חותך. מ דדו בעזרת מד-זווית את גודלה הזווית. ח שבו את גודל זוויות ו-. 40.7 נתון c d, ח שבו את גודל זוויות, ו-. ה סבירו. c d 40 8. בשרטוט זוג ישרים מקבילים. ח שבו את גודל זוויות,, ו-. ה סבירו את דרך החישו 9. המרובע בשרטוט הוא מקבילית. ח שבו את גודל הזוויות, ו-, ה סבירו את דרך החישו )רמז: האריכו את הישרים.( 105 e.10 נתון: e II d II c ה ראו כי = d )רמז: ה אריכו את הישר.( c ש רטטו במחברת ישרים וזוויות כך ש: אך II c, e II d 11. נתונים שני ישרים מקבילים וישר חותך. האם חוצי הזוויות של זוג זוויות מתאימות, מקבילים? ש רטטו במחברת וה סבירו. 193
שיעור 4. זוויות מתחלפות נתון: II ש ערו: האם? = נכיר זוויות מתחלפות, ונמצא את גודלן במקרה של ישרים מקבילים. זוויות מתחלפות הגדרה נתונים שני ישרים ו- וישר שלישי החותך אותם. שתי זוויות הנמצאות מצדדים שונים של הישר החותך, ומצדדים שונים של שני הישרים, נקראות זוויות מתחלפות. דוגמאות: בשרטוטים הבאים: ו- הן זוויות מתחלפות, וגם ו- הן זוויות מתחלפות. 1 2 3 4 1. בשרטוט זוג ישרים וישר שלישי החותך אותם. 6 ו- 3 הן זוויות מתחלפות. מ צאו בשרטוט זוגות נוספים של זוויות מתחלפות. 5 6 8 7 זוויות מתחלפות בין מקבילים.2 בשרטוט נתון: = 75, ח שבו את גודל זווית. )היעזרו בחישוב זוויות נוספות במידת הצורך.( בשרטוט נתון האם ייתכן שזוויות ו- שונות בגודלן זו מזו? ה סבירו. 194
נתונים שני ישרים וישר שלישי החותך אותם. אם הישרים מקבילים, אז הזוויות המתחלפות שוות. דוגמה: בשרטוט, הישרים ו- מקבילים זה לזה ולכן הזוויות ו- שוות. אם אז = 70.3 בשרטוט נתון: מהם הגדלים של זוויות ו-? 83 חושבים על....4 בשרטוט נתון: וגם c האם? c ה סבירו. c c במשימה 4 ראינו את העובדה: אם שני ישרים מקבילים לישר שלישי, אז הם מקבילים זה לזה. דוגמה: א ם וגם c א זc 147 30 5. בכל סעיף, הישרים ו- מקבילים. ח שבו את גודל זווית. )רמז: ש רטטו ישר העובר דרך נקודה D ומקביל לאחד הישרים.( D D 135 55 195
אוסף משימות 1. בכל סעיף, ק בעו אם הזוויות ו- הן זוויות מתחלפות, זוויות מתאימות, זוויות צמודות או זוויות קודקודיות. ה. ז. ו. ח. 2. ה עתיקו את השרטוטים. בכל שרטוט, ס מנו זווית המתאימה לזווית, וס מנו זווית המתחלפת עם זווית. 3. ה עתיקו את השרטוט. ס מנו זווית המתחלפת עם זווית וגם מתחלפת עם זווית. ס מנו זווית המתחלפת עם זווית ואינה מתחלפת עם זווית. 196
4. בכל סעיף זוג ישרים מקבילים )מסומנים בחיצים( וישר חותך. ח שבו את גודל זווית. 80 110 35 60 5. בכל סעיף זוג ישרים מקבילים )מסומנים בחיצים( וישר חותך, ח שבו את גודל זווית. 30 86 70 35 6. נתונים ישרים מקבילים )מסומנים בחיצים( וישר חותך. ח שבו את גודל הזוויות ו-. ה סבירו. 122 50 7. נתונים ישרים מקבילים )מסומנים בחיצים(. ח שבו את גודל הזוויות ו-. ה סבירו. 84 197
.8 בשרטוט נתון: ח שבו את גודל הזוויות, ו-. 70 60 x + 40.9 בשרטוט נתון:. בּ טאו את ו- בעזרת x, > )0 x במעלות(. ר שמו משוואה וח שבו את גודל הזוויות ו-. x 2x B D.10 בשרטוט נתון:.AB CD ח שבו את גודל זוויות המשולש.DABC A C 60 40.11 בשרטוט נתון: = 90 = = האם גם זווית חייבת להיות זווית ישרה? ה סבירו. 12. נתון. ח שבו את גודל זווית 135 42 150 52 198